Bài toán. Tìm tất cả các số phức thỏa mãn Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn hai điều kiện z.\overline z=13|z+4|+|z-4|=10

Lời giải. Trước hết ta có 2 đẳng thức

|z+4|^2+|z-4|^2=2(|z|^2+16)=58(z+\overline{z})^2-(z-\overline{z})^2=4|z|^2=52.

Theo giả thiết

|z+4|+|z-4|=10\Rightarrow |z+4|^2+|z-4|^2+2|(\overline z+4)(z-4)|=100\Rightarrow ||z|^2+4(z-\overline z)-16|=21

\Rightarrow |4(z-\overline z)-3|=21\Rightarrow -16(z-\overline z)^2+9=21^2 \Rightarrow (z-\overline z)^2=-27\Rightarrow (z+\overline z)^2=25.

Do đó ta có hệ phương trình

\begin{cases} z-\overline z=3\sqrt{3}i\\ z+\overline z=5\end{cases}\Rightarrow z=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}i.

Các trường hợp còn lại giả tương tự và ta có 4 số phức thỏa mãn là \dfrac{5}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}i, \dfrac{5}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}i,\ -\dfrac{5}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}i,\ -\dfrac{5}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}i.

Advertisements