Bài 1.  Cho dãy số ({a_n}) \subset \left( {\dfrac{1}{2},1} \right). Định nghĩa dãy số x_0=0{x_{n + 1}} = \dfrac{{{a_{n + 1}} + {x_n}}}{{1 + {a_{n + 1}}{x_n}}}. Hỏi dãy này có hội tụ hay không ? Nếu hội tụ hãy tìm giới hạn của nó.

 Bài 2.  Một chủng tộc người ngoài hành tinh có ba giới tính: nam, nữ  và emale. Một bộ ba kết hôn gồm ba người, mỗi giống đều thích hai giống còn lại. Bất kỳ người nào đều thuộc nhiều nhất một bộ ba kết hôn. Cảm xúc giữa hai giống luôn luôn tương tác lẫn nhau (nếu x thích y thì y cũng thích x).
Chủng tộc đó muốn di cư đến một hành tinh và đưa n nam, n nữ và n emale. Mỗi người trong đoàn di cư đều thích ít nhất k người thuộc hai giống khác. Vấn đề là tạo ra nhiều bộ ba kết hôn để có thể tăng trưởng được.

a) Chứng minh rằng nếu n là chẵn và k \geq \dfrac{n}{2} thì có thể không có bộ ba kết hôn.
b) Chứng minh rằng nếu k \geq \dfrac{3n}{4} thì có thể tạo thành n bộ ba kết hôn (tức là tất cả mọi người đều thuộc một bộ ba nào đó).

 Bài 3.  Tính \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} .\ln \left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right).\ln \left( {1 + \frac{1}{{2n + 1}}} \right).

Bài 4.  Cho f là một đa thức hệ số thực, có bậc n. Giả sử \dfrac{{f(x) - f(y)}}{{x - y}} là một số nguyên với mọi 0 \le x < y \le n. Chứng minh rằng \left. {a - b} \right|f(a) - f(b) với mọi số nguyên a,b.

 Bài 5.  Cho F=A_1A_2...A_n là một đa giác lồi. Với mỗi 1\le k\le n-1 ta định nghĩa phép biến hình f_k bằng cách thay thế F bởi một đa giác mới {f_k}(F) = {A_0}{A_1} \ldots {A_k}{A'_k}{A_{k + 1}} \ldots {A_n} trong đó {A'_k} là điểm đối xứng của {A_k} qua đường trung trực của đoạn A_{k-1}A_{k+1}. Chứng minh rằng {\left( {{f_1} \circ {f_2} \circ {f_3} \circ \ldots \circ {f_{n - 1}}}\right)^n}\left( F \right) = F.

Advertisements