Bài 3. Giả sử p,q là các số phức mà q\ne 0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình x^2+px+q^2=0 có môđun bằng nhau thì \dfrac{p}{q} là một số thực.

Lời giải. Gọi hai nghiệm của phương trình là x_1,x_2 thì hiển nhiên x_1\ne 0 do q\ne 0.

Khi đó x_1x_2=q^2\Rightarrow |x_1|=|x_2|=|q|\dfrac{x_1}{q}+\dfrac{q}{x_1}=-\dfrac{p}{q}.

Suy ra \overline{\left(-\dfrac{p}{q}\right)}=\dfrac{\overline{x_1}}{\overline{q}} + \dfrac{\overline{q}}{\overline{x_1}} =\dfrac{|x_1|^2}{x_1}.\dfrac{q}{|q|^2}+\dfrac{|q|^2}{q}.\dfrac{x_1}{|x_1|^2} =\dfrac{q}{x_1}+\dfrac{x_1}{q}=-\dfrac{p}{q}. \blacksquare

Advertisements