Bài 2. Cho n\in\mathbb{Z}n>0. Chứng minh rằng nếu số phức z thỏa mãn \left| {{z^n} + \dfrac{1}{{{z^n}}}} \right| \le 2 thì \left| {{z} + \dfrac{1}{{{z}}}} \right| \le 2.

Lời giải. Đặt u_n=\left| {z^n}+\dfrac{1}{z^n}\right| với n=0,1,2,....

Ta có {u_{n + 1}} = \left| {{z^{n + 1}} + \dfrac{1}{{{z^{n + 1}}}}} \right| = \left| {\left( {{z^n} + \dfrac{1}{{{z^n}}}} \right)\left( {z + \dfrac{1}{z}} \right) - \left( {{z^{n - 1}} + \dfrac{1}{{{z^{n - 1}}}}} \right)} \right| với n=1,2,....

Do đó {u_{n + 1}} \ge {u_n}.{u_1} - {u_{n - 1}} với n=1,2,....

Nếu {u_1} > 2 \Rightarrow {u_{n + 1}} > 2{u_n} - {u_{n - 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} > {u_n} - {u_{n - 1}} với mọi n\geq 1.

Do {u_2} > 2{u_1} - 2 > {u_1} nên theo quy nạp ta có u_n>u_1>2 với mọi n\geq 2.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết. \blacksquare


Advertisements