Bài 1. Giả sử z là số phức thay đổi thỏa mãn \left| {z + \dfrac{1}{z}} \right| = a. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |z|.

Lời giải. Theo giả thiết ta có \left| {{z^2} + 1} \right| = a\left| z \right| \Rightarrow a\left| z \right| \ge {\left| z \right|^2} - 1 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} - a\left| z \right| - 1 \le 0

\Rightarrow \left| z \right| \le \dfrac{{a + \sqrt {{a^2} + 4} }}{2}.

Mặt khác \left| {{z^2} + 1} \right| \ge 1 - {\left| z \right|^2} \Rightarrow a\left| z \right| \ge 1 - {\left| z \right|^2} \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} + a\left| z \right| - 1 \ge 0

\Rightarrow \left| z \right| \ge \dfrac{{ - a + \sqrt {{a^2} + 4} }}{2}. \blacksquare

Advertisements