Bài 5. Giả sử f là một hàm từ tập các số nguyên \mathbb{Z} vào tập các số nguyên dương \mathbb{N}^{\star}. Giả thiết rằng với hai số nguyên tùy ý mn, hiệu f(m)-f(n) chia hết cho f(m-n). Chứng minh rằng với mọi số nguyên m,n nếu f(m)\leq f(n), thì f(n) chia hết cho f(m) .

Lời giải. Ta có \left. {f(n - 0)} \right|f(n) - f(0) \Rightarrow \left. {f(n)} \right|f(0).

Lại có \left. {f(n)} \right|f(0) - f( - n) \Rightarrow \left. {f(n)} \right|f( - n).

Do đó f( - n) = f(n),\forall n \in \mathbb{Z}.

Với m,n là các số nguyên tùy ý ta đặt a=f(m+n), b=f(m), c=f(n). Khi đó ta có \left. b \right||a - c|, \left. c \right||a - b|\left. a \right||b - c|.

Nếu a\ne b\ne c thì số lớn nhất trong ba số \{ a,b,c\} không phải là ước của của hiệu hai số còn lại, mâu thuẫn.

Vậy trong ba số a,b,c phải có hai số bằng nhau.

Giả sử f(n) > f(m) \Rightarrow c > b\left. a \right|c - b \Rightarrow c>c-b\geq a.

Do đó a=b hay \left. b \right|c-b \Rightarrow \left. b \right |c . \blacksquare

Advertisements