Khi nói đến bất đẳng thức AM-GM hẳn các bạn thấy sự đơn giản và đẹp đẽ trong cách phát biểu của nó, tuy nhiên để chứng minh nó thì cũng nhiều cách tiếp cận và cũng đã không ít cách chứng minh thú vị cho bất đẳng thức này.

Định lý. Giả sử n\in\mathbb{N}x_1,x_2,...,x_n là các số thực dương. Khi đó \dfrac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\geq \sqrt[n]{x_1x_2...x_n}.

Sau đây tôi giới thiệu hai cách chứng minh khá ngắn cho bất đẳng thức AM-GM được đăng trên tạp chí Mathematical Intelligencer.

Cách 1. (MICHAEL D. HIRSCHHORN, Volume 29, Number 4, 2007)

Với x>0 ta có x^{n+1}-(n+1)x+n=(x-1)^2(x^{n-1}+2x^{n-2}+\cdots+n)\geq 0.

Bây giờ với x_1,...,x_n,x_{n+1}>0 đặt a=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_{n+1}}{n+1}b=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}.
Áp dụng BĐT trên cho x=\dfrac{a}{b} ta có \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n+1}-(n+1)\left(\dfrac{a}{b}\right)+n\geq 0.
a^{n+1}\geq ((n+1)a-nb)b^n
hay \left(\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_{n+1}}{n+1}\right)^{n+1}\geq x_{n+1}\left(\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)^{n}.
Theo nguyên lý quay nạp ta có BĐT AM-GM đúng.

Cách 2. (O. A. S. KARAMZADEH, Volume 33, Number 1, 2011)

Trước hết với 0 < a \leq b ta luôn có a\geq x\geq b\Leftrightarrow a+b\geq x+\dfrac{ab}{x}.

Chọn x=\sqrt{ab} ta có BĐT \dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}.

Nếu x_1=\cdots=x_n thì BĐT hiển nhiên đúng.

Nếu không như vậy ta giả sử x_1\geq x_i\geq x_2 với mọi i=1,...,n và đặt x=\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}.
Khi đó x_1+x_2 > x+\dfrac{x_1x_2}{x} hay x_1+x_2+\cdots+x_n > x+\dfrac{x_1x_2}{x}+x_3+\cdots+x_n > x+(n-1)x = nx . (theo nguyên lý quy nạp)
Do đó Bất đẳng thức AM-GM đúng.

Advertisements