Bài BDT đề thi đại học khối A 2009.

Cho x,y,z>0 và thỏa mãn x(x+y+z)=3yz. CMR:

(x + y)^3+(x + z)^3+3(x + y)(x + z)(y + z) \leq 5(y + z)^3 .

Bài này thuộc hàng trung bình, để tìm ra cách giải đơn giản thì quả  không nhanh chút nào đối với thí sinh.

Chỉ dùng BDT x + y \geq 2\sqrt {xy} ,\forall x,y \ge 0

Giả thiết (x + y)(x + z) = 4yz\Rightarrow 4yz \ge 4x\sqrt {yz}\Rightarrow x \leq\sqrt {yz}\leq\dfrac{{y + z}}{2}. (1)

Suy ra 3(x + y)(x + z)(y + z) = 3.4yz(y + z) \le 3(y + z)^3 .

Và  (x+y)^3+(x+z)^3

=(2x+y+z)((x+y)^2+(x+z)^2-(x+y)(x+z))

=(2x+y+z)((y-z)^2+4yz)=(2x+y+z)(y+z)^2.

Để ý một chút 2x + y + z\leq 2(y+z)  do (1).

Do đó (x+y)^3+(x+z)^3\leq 2(y+z)^3.

Từ đây ta có điều phải chứng minh.

Ngoài cách trên ra ta có thể dùng phương pháp hàm số, BDT Bunhia cũng ra được.

Advertisements